Was sind perfekte Zahlen?

Welche gibt es noch?

Die nächste ist 28, mit den Teilern 1, 2, 4, 7 und 14. Danach kommt lange nichts: 496, dann 8.128, dann 33.550.336. Die Abstände werden schnell gewaltig.

Bekannt sind heute 52 perfekte Zahlen. Die größte hat über 82 Millionen Stellen, und sie auszuschreiben würde zehntausende Buchseiten füllen.

Warum sind sie so selten?

Weil sie an den Mersenne-Primzahlen hängen. Euklid zeigte schon in der Antike, dass sich aus jeder solchen Primzahl eine perfekte Zahl bauen lässt, und Euler bewies zwei Jahrtausende später, dass es auf geradem Weg keine anderen gibt.

Neue perfekte Zahlen werden deshalb nur gefunden, wenn jemand eine neue Mersenne-Primzahl findet. Die bislang letzte fand Luke Durant am 12. Oktober 2024 mit gemieteten Grafikkarten in der Cloud; sie hat 41.024.320 Stellen.

Was ist seit 2.000 Jahren offen?

Ob es ungerade perfekte Zahlen gibt. Alle bekannten sind gerade, und niemand konnte bisher beweisen, dass es dabei bleibt. Man weiß nur, dass eine ungerade perfekte Zahl, falls es sie gibt, mindestens 1.500 Stellen haben müsste.

Woher kommt der Name?

Von den Pythagoreern, die Zahlen nach ihrem Teilerverhalten einteilten. Wer mehr wiegt als seine Teiler, heißt abundant, wer weniger hat, defizient. Dazwischen liegt das Gleichgewicht.

Eine mathematische Bedeutung hat die Bezeichnung nicht. Sie ist reine Wertschätzung, und sie hat sich über zweieinhalbtausend Jahre gehalten. Das Shirt dazu gibt es bei uns.